Урок 1. Умножение чисел в уме.

Прочитайте и потренируйтесь умножать числа в уме, проверьте себя с помощью письменного умножения

Как быстро умножать большие числа, как овладеть такими полезными навыками? У большинства вызывает затруднения устное перемножение двузначных чисел на однозначные. А о сложных арифметических расчетах и говорить нечего. Но при желании способности, заложенные в каждом человеке, можно развить. Регулярные тренировки, немного усилий и применение, разработанных учеными, эффективных методик позволят достичь потрясающих результатов.

Умножение с помощью разложения чисел

Наиболее легким способом, как быстро научиться умножать большие числа в уме, является перемножение десятков и единиц. Сначала умножаются десятки двух чисел, затем поочередно единицы и десятки. Четыре полученных числа суммируются. Для использования этого метода важно уметь запоминать результаты перемножения и складывать их в уме.

Например, для умножения 38 на 57 необходимо:

разложить число на (30+8)*(50+7);
30*50 = 1500 – запомнить результат;
30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – запомнить;
(1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166

Естественно, необходимо отлично знать таблицу умножения, так как быстро умножать в уме этим способом не удастся без соответствующих умений.

Умножение в столбик в уме.

Визуальное представление привычного перемножения в столбик многие используют при расчетах. Этот метод подойдет тем, кто умеет надолго запоминать вспомогательные числа и выполнять с ними арифметические действия. Но процесс значительно упрощается, если вы научились, как быстро умножать двузначные числа на однозначные. Для перемножения, например, 47*81 нужно:

47*1 = 47 – запомнить;
47*8 = 376 – запоминаем;
376*10 + 47 = 3807.

Запоминать промежуточные результаты поможет проговаривание их вслух с одновременным суммированием в уме. Несмотря на сложность мысленных вычислений, после непродолжительных тренировок этот метод станет вашим любимым.

Умножение на 11

Это, пожалуй, самый простой способ, который используется для умножения любых двузначных чисел на 11.

Достаточно между цифрами множителя вставить их сумму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143

Если в скобках получается число больше 10, то к первой цифре добавляется единица, а из суммы в скобках вычитается 10.

28*11 = 2 (2+8) 8 = 308

Умножение больших чисел

Очень удобно перемножать числа, близкие к 100 разложением их на составляющие. Например, необходимо умножить 87 на 91.

Каждое число необходимо представить как разницу 100 и еще одного числа:
(100 — 13)*(100 — 9)

Ответ будет состоять из четырех цифр, две первые из которых – разница первого множителя и вычитаемого из второй скобки или наоборот – разница второго множителя и вычитаемого из первой скобки.
87 – 9 = 78

91 – 13 = 78

Вторые две цифры ответа — результат перемножения вычитаемых из двух скобок.13*9 = 144
В результате получаются числа 78 и 144. Если при записывании окончательного результата получается число из 5 цифр вторую и третью цифру суммируем. Результат: 87*91 = 7944.

Это самые простые способы перемножения. После многократного их применения, доведения вычислений до автоматизма можно осваивать более сложные техники. И через некоторое время проблема, как быстро умножить двузначные числа перестанет вас волновать, а память и логика существенно улучшатся.

Источник: http://interesno.cc/article/1167/kak-bystro-umnozhat-dvuznachnye-chisla-v-ume

Урок 2. Признаки делимости чисел.

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

источник: https://www.bymath.net/studyguide/ari/ari5.html

Выполнить задание: Решу ВПР

Урок 3 Деление чисел с остатком в уме

Посмотрите видеоролик

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=oNPuo-Vu05g

Выполнить задание: Решу ВПР

Урок 4-5 Приемы умножения и деления.

Мы уже многое знаем и умеем.

Задача: Васе, Свете и Роме предложили найти значения произведений.

20*4 60*7 30*9

При выполнении задания Вася, Света и Рома предложили такие способы.

Вася сказал, что можно рассмотреть такой вариант.

20*4=(10*2)*4=10*(2*4)=10*8=80

Света рассуждала так.

Мы знаем о том, что 2*4=8, но у нас первый множитель не 2, а 2 десятка, значит, если 2 дес.*4=8 дес., следовательно, 20*4=80

Рома предложил свой способ.

20*4=(10+10)*4=10*4+10*4=40+40=80

Какой способ вам кажется наиболее удобным?

Обратите внимание на способ, который предложила Света. Он кажется наиболее рациональным. Как вы думаете, почему?

Если вы затрудняетесь ответить, проведите наблюдение, решите остальные примеры разными способами.

60*7 30*9

Если использовать способ, который предложил Вася, решение будет выглядеть так.

60*7= (10*6)*7=10* (6*7)=10*42=420

30*9= (10*3)*9=10* (3*9)=10*27=270

Рома решил бы так.

Преимущество способа, который предложила Света в том, что используется таблица умножения.

Потренируемся.

Используя данные произведения, составьте всевозможные примеры, чтобы один из множителей был круглым числом.

8*4 3*7 5*9

Проверьте себя.

80*4, 8*40, 30*7, 3*70, 50*9, 5*90

Во всех данных произведениях есть двузначные круглые числа. А чем они отличаются? Сравните произведения. Разделите данные произведения на две группы.

Проверьте себя.

В первую группу можно выделить произведения, где первый множитель – круглое число. Например, 80*4, 30*7, 50*9.

Во вторую – произведения, где второй множитель – круглое число. Например, 8*40, 3*70, 5*90.

Как вы думаете, как найти произведение, если второй множитель – круглое число?

Конечно, надо применить переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

80*4=320

30*7=210

50*9=450

8*40=320

3*70=210

5*90=450

Подумайте, помогут ли получившиеся равенства найти значение частного.

20*4=80 60*7=420 30*9=270

80:4 420:7 270:9

Можно рассуждать так. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель. Значит, если 20*4=80, то 80:4=20.

Если 60*7=420, то 420:7=60

Если 30*9=270, то 270:9=30

А можно ли выполнить такое деление, используя таблицу умножения?

Выпишем из таблицы умножения равенства, которые нам помогут.

2*4=8

6*7=42

3*9=27

Зная равенства таблицы умножения, можно найти значения частных.

Попробуем объяснить.

80=8 дес.

8 дес:4=2 дес., а 2 дес.=20

Будем рассуждать по аналогии.

420:7

420=42 дес.

42 дес.:7=6 дес., а 6 дес.=60

270:9

270=27 дес.

27 дес.:9=3 дес., а 3 дес.=30

По данному равенству составьте примеры с круглыми десятками.

9*4=36

Проверьте себя.

90*4=360 40*9=360

360:4=90 360:9=40

Сегодня на уроке мы повторили таблицу умножения, свойства умножения и деления, познакомились с приемами умножения и деления для случаев вида 20*3, 3*20, 60:3, а также потренироваться в решении примеров по теме урока.

источник: nterneturok.ru/lesson/matematika/3-klass/vnetablichnoe-umnozhenie-i-delenie/priyomy-umnozheniya-i-deleniya-dlya-sluchaev-vida-20-3-3-20-60-3

Выполнить задание: Решу ВПР

Урок 6: Некоторые особые случаи устного счета

Умножение на 22,33,…,99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;

24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)

Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747;

324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675;

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

Умножение на 37

Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 х 37 = (24 : 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;

18 х 37 = (18 : 3) х 111 = 6 х 111 = 666.

Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100

Например: 98 х 97 = 9506

2 3

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

Умножение трёхзначного числа на 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/nestandartnie_priemi_ustnogo_scheta_111544.html

Здание: Решу ВПР

Урок 7-8. Понятие арифметической прогрессии.

Закончился XX век,
Куда стремится человек,
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг

“Прогрессия – движение вперед!”

Последовательность чисел – это числовой ряд.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность четных положительных чисел 2;4;6;8;10;… бесконечна,

последовательность двузначных чисел 10;11;12;13;… конечна (последнее число 99)

Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности.

Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Выполнить задание на Учи.ру (пароль можно попросить у учителя)

Урок 9 Сочетание из n по 2

На уроках мы знакомились с комбинаторными задачами.

Комбинаторика – это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов.

При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопрос: «Сколькими способами…?» Например: Сколькими способами можно выбрать двух участников олимпиады по математике из пяти учеников?

Например, есть три объекта {1,2,3}, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} - это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6,). Дано 4 объекта (бананы, виноград, клубника, дыня). Необходимо составить или выбрать все пары (комбинации по два объекта). Всего получим 6 пар.